Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya.
(Definisi 2.1 – Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam
bukunya ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992)
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan
sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Maka, tupel disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B
berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
• Misalkan terdapat
– Dua operator biner: + dan
– Sebuah operator uner: ’.
– B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’
– 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, , ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b B
(ii) a b B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a b = b . a
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c)
(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen : (i) a + a’ = 1
(ii) a a’ = 0
• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
– B = {0, 1}
– operator biner, + dan
– operator uner, ’
– Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
a b a b a b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
• Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a b
a’ (b + c)
a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
• Contoh: a’ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’ (1 + 0) = 1 1 = 1
• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
• Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
(iii) a 0 , bukan a0
sumber : wordpress.com
Syaifulmihaylov's Blog 
Tinggalkan komentar